Câu 1. Tìm tập xác định $\mathcal{D}$ của hàm số $y=\displaystyle\frac{\log_2(3^x-1)}{x-2}.$
Lời giải câu 1.
Điều kiện \begin{equation*}\notag \begin{aligned} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\begin{cases}3^x-1>0\\x-2\neq 0\end{cases}\\ &\Longleftrightarrow\begin{cases}3^x>3^0\\x\neq 2\end{cases}\\ &\Longleftrightarrow\begin{cases}x>0\\x\neq 2\end{cases}\\ &\Longleftrightarrow x\in (0; 2)\cup (2; +\infty). \end{aligned} \end{equation*} Vậy $\mathcal{D}=(0; 2)\cup (2; +\infty).$
Câu 2. Tìm tất cả số thực $m$ để giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=-x^3-3x^2+m$ trên đoạn $[-1; 1]$ bằng $0.$
Lời giải câu 2.
Ta có $y'=-3x^2-6x.$
Bảng biến thiên của hàm số trên đoạn $[-1; 1]$ \begin{array}{c|ccccc} x & -1 &\; &\; 0 &\; &\; 1\\ \hline y' & \; & + & 0 & - &\; \\ \hline & \; & \; & m & \; & \; \\ y & \; & \nearrow & \; & \searrow & \; \\ & m-2 \; & \; & \; &\; &\; m-4\\ \end{array} Từ bảng biến thiên ta được $\min\limits_{x\in [-1; 1]}y(x)=y(1)=m-4.$ Theo đề bài ta có $m-4=0$ hay $m=4.$
Câu 3. Cho hình chóp tứ giác đều $ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$ và mặt bên tạo với đáy một góc $45^\circ.$ Thể tích hình chóp $S.ABCD$ bằng
Lời giải câu 3.
Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$ và $H$ là trung điểm của $BC,$ khi đó $SH\perp BC$ và $OH\perp BC.$ Do đó góc giữa mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABCD)$ là góc $SHO.$ Theo đề bài ta có $\angle SHO=45^\circ.$ Vì $ABCD$ là hình chóp tứ giác đều nên $SO\perp (ABCD),$ do đó tam giác $SOH$ vuông tại $O.$ Kết hợp với $\angle SHO=45^\circ,$ ta có $SO=OH=\displaystyle\frac{AB}{2}=\displaystyle\frac{a}{2}.$
Thể tích hình chóp $S.ABCD$ là \begin{equation*}\notag \begin{aligned} V_{S.ABCD}&=\displaystyle\frac{1}{3}SO.S_{ABCD}\\ &=\displaystyle\frac{1}{3}.\displaystyle\frac{a}{2}.a^2\\ &=\displaystyle\frac{a^3}{6}. \end{aligned} \end{equation*} Câu 4. Có bao nhiêu số thực $m$ để phương trình $x^3-3x^2-1-m^2=0$ có hai nghiệm thực phân biệt?
Lời giải câu 4.
Phương trình đã cho tương đương với $$x^3-3x^2=m^2+1.$$ Bảng biến thiên của hàm số $y=x^3-3x^2.$
\begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & \; & 0 & \; & 2 &\; & +\infty\\ \hline y' & \; & + & 0 & - & 0 & + &\; \\ \hline & \; & \; & 0 & \; & \; & \; & \; +\infty \\ y & \; & \nearrow & \; & \searrow & \; & \nearrow & \; \\ & -\infty & \; & \; & \; & -4 & \; \\ \end{array}
Căn cứ vào bảng biến thiên ta thấy phương trình $x^3-3x^2=m^2+1$ có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \begin{equation*}\notag \begin{aligned} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\bigg[\begin{array}{l}m^2+1=0\\ m^2+1=-4\end{array}\\ &\Longleftrightarrow\bigg[\begin{array}{l}m^2=-1\\ m^2=-5\end{array} \end{aligned} \end{equation*} Do đó không tồn tại $m.$Câu 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị của hàm số $y=x^4-2mx^2+m^2-m$ có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có một góc bằng $120^\circ.$
Lời giải câu 5.
Ta có $y'=4x^3-4mx=4x(x^2-m).$
Đồ thị của hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi $m>0.$
Các điểm cực trị của đồ thị hàm số là \begin{equation*}\notag \begin{aligned} &A(0; m^2-m),\\ &B(-\sqrt{m}, -m),\\ &C(\sqrt{m}, -m). \end{aligned} \end{equation*} Ta có \begin{equation*}\notag \begin{aligned} AB&=\sqrt{(-\sqrt{m})^2+(-m^2)^2}\\ &=\sqrt{m+m^4}, \end{aligned} \end{equation*} \begin{equation*}\notag \begin{aligned} AC&=\sqrt{(\sqrt{m})^2+(-m^2)^2}\\ &=\sqrt{m+m^4}, \end{aligned} \end{equation*} \begin{equation*}\notag \begin{aligned} BC&=\sqrt{(2\sqrt{m})^2+0^2}\\ &=2\sqrt{m}. \end{aligned} \end{equation*} Ta thấy $AB=AC$ nên tam giác $ABC$ cân tại $A.$ Vì tam giác $ABC$ có một góc bằng $120^\circ$ nên ta suy ra góc $A$ bằng $120^\circ.$
Theo định lý hàm số côsin \begin{equation*}\notag \begin{aligned} \cos A&=\displaystyle\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB.AC}\\ &=\displaystyle\frac{2(m+m^4)-4m}{2(m+m^4)}\\ &=\displaystyle\frac{m^4-m}{m+m^4}\\ &=\displaystyle\frac{m^3-1}{m^3+1} (\text{ vì } m>0). \end{aligned} \end{equation*} Do đó \begin{equation*}\notag \begin{aligned} &\;\;\;\;\;\;\;\;\cos 120^\circ=\displaystyle\frac{m^3-1}{m^3+1}\\ &\Longleftrightarrow\displaystyle\frac{-1}{2}=\displaystyle\frac{m^3-1}{m^3+1}\\ &\Longleftrightarrow 2(m^3-1)=-(m^3+1)\\ &\Longleftrightarrow 3m^3=1\\ &\Longleftrightarrow m=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[3]{3}}. \end{aligned} \end{equation*} Ta thấy $m=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$ thỏa mãn điều kiện $m>0.$ Vậy $m=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$ là giá trị cần tìm.
Câu 6. Tìm tất các giá trị thực của tham số $m$ để đường thẳng $(d): y=-x-m$ cắt đồ thị hàm số $y=\displaystyle\frac{x}{x-1}$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ sao cho trung điểm của đoạn $AB$ nằm trên đường thẳng $(\Delta): 2x-y=1.$
Lời giải câu 6.
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $(d): y=-x-m$ với đồ thị hàm số $y=\displaystyle\frac{x}{x-1}$ \begin{equation*}\notag \begin{aligned} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-x-m=\displaystyle\frac{x}{x-1}\;\;\;\;(1)\\ &\Longleftrightarrow\begin{cases}(-x-m)(x-1)=x\\x-1\neq 0\end{cases}\\ &\Longleftrightarrow\begin{cases}-x^2+x-mx+m=x\\x\neq 1\end{cases}\\ &\Longleftrightarrow\begin{cases}-x^2-mx+m=0\\x\neq 1\end{cases}\\ &\Longleftrightarrow\begin{cases}x^2+mx-m=0\;\;(2)\\x\neq 1\end{cases} \end{aligned} \end{equation*} Phương trình $(2)$ luôn có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \begin{equation*}\notag \begin{aligned} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Delta>0\\ &\Longleftrightarrow m^2+4m>0\\ &\Longleftrightarrow\left[ {\begin{matrix} m>0\\m<-4\end{matrix}} \right. \end{aligned} \end{equation*} Thay $x=1$ vào $x^2+mx-m$ ta được $1^2+m\times 1-m=1\neq 0.$ Do đó $x=1$ không là nghiệm của phương trình $(2).$ Do đó phương trình $(2)$ có hai nghiệm phân biệt khác $1$ khi và chỉ khi $m>0$ hoặc $m<-4.$
Giả sử $A(x_1;y_1),$ $B(x_2; y_2),$ khi đó $x_1, x_2$ là các nghiệm của $(2).$ Theo định lý Viet, ta có $$\begin{cases}x_1+x_2=-m\\x_1x_2=-m\end{cases}$$ Vì $A, B$ là giao điểm của $(d)$ và $(C)$ nên $A, B\in (d).$ Do đó tọa độ các điểm $A, B$ thỏa mãn phương trình của $(d),$ tức là $$\begin{cases}y_1=-x_1-m\\y_2=-x_2-m\end{cases}$$ Do đó \begin{equation*}\notag \begin{aligned} y_1+y_2&=-(x_1+x_2)-2m\\ &=m-2m\\ &=-m. \end{aligned} \end{equation*} Trung điểm $I$ của đoạn $AB$ có tọa độ $I\Big(\displaystyle\frac{x_1+x_2}{2}; \displaystyle\frac{y_1+y_2}{2}\Big).$
Thay $x_1+x_2=-m$ và $y_1+y_2=-m,$ ta được $I\Big(-\displaystyle\frac{m}{2}; -\displaystyle\frac{m}{2}\Big).$
Vì điểm $I$ thuộc đường thẳng $(\Delta): 2x-y=1$ nên $$2.\Big(-\displaystyle\frac{m}{2}\Big)+\displaystyle\frac{m}{2}=1\Longleftrightarrow m=-2.$$ Ta thấy $m=-2$ không thỏa mãn điều kiện $\left[ {\begin{matrix} m>0\\m<-4\end{matrix}} \right..$ Vậy không tồn tại $m.$
Câu 7. Biểu diễn của $\log_{20} 40$ theo $a=\log_2 5$ là
Lời giải câu 7.
Ta có \begin{equation*}\notag \begin{aligned} \log_{20} 40&=\displaystyle\frac{\log_2 40}{\log_2 20}\\ &=\displaystyle\frac{\log_2(2^3.5)}{\log_2(2^2.5)}\\ &=\displaystyle\frac{\log_2 2^3+\log_2 5}{\log_2 2^2+\log_2 5}\\ &=\displaystyle\frac{3+\log_2 5}{2+\log_2 5}\\ &=\displaystyle\frac{a+3}{a+2}. \end{aligned} \end{equation*} Câu 8. Tìm tất cả các số thực $m$ để hàm số $y=\cos x-(m^2-2m)x+7$ đồng biến trên $\Bbb{R}.$
Lời giải câu 8.
Hàm số $y=\cos x-(m^2-2m)x+7$ đồng biến trên $\Bbb{R}$ khi và chỉ khi $y'\geq 0\;\forall x\in\Bbb{R}.$
Ta có $$y'=-\sin x-m^2+2m.$$ Do đó \begin{equation*}\notag \begin{aligned} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;y'\geq 0\;\forall x\in\Bbb{R}\\ &\Longleftrightarrow -\sin x-m^2+2m\geq 0\;\forall x\in\Bbb{R}\\ &\Longleftrightarrow -m^2+2m\geq\sin x\;\forall x\in\Bbb{R}\\ &\Longleftrightarrow -m^2+2m\geq\max\limits_{x\in\Bbb{R}}(\sin x)\\ &\Longleftrightarrow -m^2+2m\geq 1\\ &\Longleftrightarrow m^2-2m+1\leq 0\\ &\Longleftrightarrow (m-1)^2\leq 0\\ &\Longleftrightarrow m=1. \end{aligned} \end{equation*} Vậy $m=1.$
Câu 9. Tìm tất cả các số thực $m$ để hàm số $y=x^6+(m^2-m)x-2m$ đạt cực tiểu tại điểm $x=0.$
Lời giải câu 9.
Ta có \begin{equation*}\notag \begin{aligned} y'&=6x^5+m^2-m,\\ y^{"}&=30x^4. \end{aligned} \end{equation*} Vì hàm số $y=x^6+(m^2-m)x-2m$ đạt cực tiểu tại điểm $x=0$ nên \begin{equation*}\notag \begin{aligned} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;y'(0)=0\\ &\Longleftrightarrow m^2-m=0\\ &\Longleftrightarrow\bigg[\begin{array}{l}m=0\\ m=1\end{array} \end{aligned} \end{equation*} Khi $m=0$ thì $y^{"}(0)=0$ và $y'=6x^5.$
Bảng biến thiên \begin{array}{c|ccccc} x & -\infty &\; &\; 0 &\; &\; +\infty\\ \hline y' & \; & - & 0 & + &\; \\ \hline & +\infty\; & \; & \; &\; &\; +\infty \\ y & \; & \searrow & \; & \nearrow & \; \\ & \; & \; & 0 & \; & \; \\ \end{array} Do đó hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=0.$
Khi $m=1$ thì $y^{"}(0)=0$ và $y'=6x^5.$
Bảng biến thiên \begin{array}{c|ccccc} x & -\infty &\; &\; 0 &\; &\; +\infty\\ \hline y' & \; & - & 0 & + &\; \\ \hline & +\infty\; & \; & \; &\; &\; +\infty \\ y & \; & \searrow & \; & \nearrow & \; \\ & \; & \; & -2 & \; & \; \\ \end{array} Do đó hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=0.$
Vậy $m=0$ hoặc $m=1$ là giá trị cần tìm.
Câu 10. Cho hàm số $y=-x^3+3x^2-3x+7.$ Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng
Lời giải câu 10.
Ta có \begin{equation*}\notag \begin{aligned} y'&=-3x^2+6x-3\\ &=-3(x^2-2x+1)\\ &=-3(x-1)^2\leq 0\;\;\forall x\in\Bbb{R}. \end{aligned} \end{equation*} Vậy hàm số nghịch biến trên $\Bbb{R}.$ Do đó hàm số không đạt cực trị.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét