Mời các bạn xem lời giải đề luyện thi THPT Quốc gia 2017 số 1
Câu 1. Tìm tất cả các số thực $m$ để điểm $A(m+1; m-2)$ nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=x^3-6x^2+9x.$
Lời giải câu 1.
Ta có $$y'=3x^2-12x+9.$$
Do đó $$y'=0\Longleftrightarrow\bigg[\begin{array}{l}x=1\\ x=3\end{array}$$ Với $x=1$ thì $y=4,$ với $x=3$ thì $y=0.$ Do đó hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là $B(1; 4)$ và $C(3; 0).$
Đường thẳng $BC$ đi qua điểm $B(1; 4)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{BC}=(2; -4)$ nên $BC$ có phương trình là
$$\displaystyle\frac{x-1}{2}=\displaystyle\frac{y-4}{-4}\Longleftrightarrow 2x+y-6=0.$$
Điểm $A(m+1; m-2)$ nằm trên đường thẳng $BC$ khi và chỉ khi tọa độ điểm $A$ thỏa mãn phương trình đường thẳng $BC$
\begin{equation*}\notag
\begin{aligned}
&\;\;\;\;\;\;\;\;\;2(m+1)+m-2-6=0\\
&\Longleftrightarrow m=2.
\end{aligned}
\end{equation*}
Câu 2. Người ta dùng $48\;cm^2$ vật liệu để làm một chiếc hộp quà hình chữ nhật có đáy là hình vuông và không có nắp trên, thể tích lớn nhất có thể của chiếc hộp là
Lời giải câu 2.
Gọi $x$ là độ dài cạnh đáy và $h$ là chiều cao của chiếc hộp.
Bốn mặt bên của chiếc hộp là các hình chữ nhật có cạnh bằng $x$ và $h$ nên có diện tích bằng $hx.$ Do đó diện tích xung quanh của chiếc hộp là $4hx.$ Vì mặt đáy của chiếc hộp là hình vuông có cạnh bằng $x$ nên diện tích mặt đáy là $x^2.$ Do đó diện tích của chiếc hộp là $4hx+x^2.$
Do chiếc hộp được làm từ $48\;cm^2$ vật liệu nên $$4hx+x^2=48\Longleftrightarrow h=\displaystyle\frac{48-x^2}{4x}.$$
Vì $h>0$ và $x>0$ nên điều kiện của $x$ là $0< x <\sqrt{48}.$
Thể tích chiếc hộp là
\begin{equation*}\notag
\begin{aligned}
V&=x^2h\\
&=x^2.\displaystyle\frac{48-x^2}{4x}\\
&=\displaystyle\frac{x(48-x^2)}{4}\\
&=\displaystyle\frac{48x-x^3}{4}.
\end{aligned}
\end{equation*} Xét hàm số $f(x)=\displaystyle\frac{48x-x^3}{4}$ trên khoảng $(0; \sqrt{48}),$ ta có \begin{equation*}\notag
\begin{aligned}
f'(x)&=\displaystyle\frac{48-3x^2}{4}\\
&=\displaystyle\frac{3(4-x)(4+x)}{4}.
\end{aligned}
\end{equation*} Bảng biến thiên \begin{array}{c|ccccc}
x & 0 &\; &\; 4 &\; &\; \sqrt{48}\\
\hline
f'(x) & \; & + & 0 & - &\; \\
\hline
& \; & \; & 32 & \; & \; \\
f(x) & \; & \nearrow & \; & \searrow & \; \\
& 0 \; & \; & \; &\; &\; 0\\
\end{array} Từ bảng biến thiên ta được $\max\limits_{x\in (0; \sqrt{48})}f(x)=f(4)=32.$
Câu 3. Cho hình chóp tứ giác đều $ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$ và mặt bên tạo với đáy một góc $45^\circ.$ Thể tích hình chóp $S.ABCD$ bằng
Lời giải câu 3.
Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$ và $H$ là trung điểm của $BC,$ khi đó $SH\perp BC$ và $OH\perp BC.$ Do đó góc giữa mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABCD)$ là góc $SHO.$ Theo đề bài ta có $\angle SHO=45^\circ.$ Vì $ABCD$ là hình chóp tứ giác đều nên $SO\perp (ABCD),$ do đó tam giác $SOH$ vuông tại $O.$ Kết hợp với $\angle SHO=45^\circ,$ ta có $SO=OH=\displaystyle\frac{AB}{2}=\displaystyle\frac{a}{2}.$
Thể tích hình chóp $S.ABCD$ là \begin{equation*}\notag
\begin{aligned}
V_{S.ABCD}&=\displaystyle\frac{1}{3}SO.S_{ABCD}\\
&=\displaystyle\frac{1}{3}.\displaystyle\frac{a}{2}.a^2\\
&=\displaystyle\frac{a^3}{6}.
\end{aligned}
\end{equation*}
Câu 4. Tập nghiệm của bất phương trình $\log_3^2(3x)-\log_9(9x^2)-2\leq 0$ là đoạn $[a; b].$ Khi đó $9a-3b$ bằng
Lời giải câu 4.
Điều kiện $$\begin{cases}3x>0\\9x^2>0\end{cases}\Longleftrightarrow x>0.$$
Ta có
\begin{equation*}\notag
\begin{aligned}
\log_3(3x)&=\log_33+\log_3 x\\
&=1+\log_3 x,
\end{aligned}
\end{equation*}
\begin{equation*}\notag
\begin{aligned}
\log_{9}(9x^2)&=\log_{3^2}(9x^2)\\
&=\displaystyle\frac{1}{2}\log_3(9x^2)\\
&=\displaystyle\frac{1}{2}(\log_3 9+\log_3 x^2)\\
&=\displaystyle\frac{1}{2}(2+2\log_3|x|)\\
&=1+\log_3 x.
\end{aligned}
\end{equation*}
Đặt $t=\log_3 x,$ khi đó phương trình đã cho trở thành \begin{equation*}\notag
\begin{aligned}
&\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1+t)^2-(1+t)-2\leq 0\\
&\Longleftrightarrow t^2+t-2\leq 0\\
&\Longleftrightarrow -2\leq t\leq 1\\
&\Longleftrightarrow -2\leq\log_3 x\leq 1\\
&\Longleftrightarrow 3^{-2}\leq x\leq 3\\
&\Longleftrightarrow\displaystyle\frac{1}{9}\leq x\leq 3.
\end{aligned}
\end{equation*} Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\Big[\displaystyle\frac{1}{9}; 3\Big].$ Vậy $a=\displaystyle\frac{1}{9}$ và $b=3.$ Do đó $9a-3b=-8.$
Câu 5. Giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=\displaystyle\frac{x+m}{\sqrt{x^2+4}}$ đồng biến trên $\Bbb{R}$ là
Lời giải câu 5.
Ta có \begin{equation*}\notag
\begin{aligned}
y'&=\displaystyle\frac{\sqrt{x^2+4}-(x+m)\displaystyle\frac{(x^2+4)'}{2\sqrt{x^2+4}}}{x^2+4}\\
&=\displaystyle\frac{\sqrt{x^2+4}-(x+m)\displaystyle\frac{2x}{2\sqrt{x^2+4}}}{x^2+4}\\
&=\displaystyle\frac{\sqrt{x^2+4}-\displaystyle\frac{x(x+m)}{\sqrt{x^2+4}}}{x^2+4}\\
&=\displaystyle\frac{4-mx}{(x^2+4)\sqrt{x^2+4}}.
\end{aligned}
\end{equation*} Hàm số $y=\displaystyle\frac{x+m}{\sqrt{x^2+4}}$ đồng biến trên $\Bbb{R}$ khi và chỉ khi
\begin{equation*}\notag
\begin{aligned}
&\;\;\;\;\;\;\;\;\;y'\geq 0\;\forall x\in\Bbb{R}\\
&\Longleftrightarrow 4-mx\geq 0\;\forall x\in\Bbb{R}.
\end{aligned}
\end{equation*} Trong $4$ phương án trên chỉ có $m=0$ là thỏa mãn.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét